【薬物動態学】持続静脈内投与時の薬物血中濃度の時間推移式はこう導く!〜微分方程式を解いてみよう〜

pharmacokinetics_continuous_intravenous_equation 薬物動態学

注意:今回は医療者もしくは薬学生さん向けの内容です

前回前々回は薬物を単回もしくは繰り返し経口投与した場合の薬物血中濃度の時間推移式を導出しました.

続きましては,「持続静脈内投与」です.いわゆる点滴投与というヤツですね.こちらも臨床現場ではよく用いられる薬物の投与方法でしょう.

持続静脈内投与における薬物血中濃度時間推移式はこれだ!

 

$$C_{t} = \frac{k_{0}}{Vd・k_{el}}(1 – e^{-k_{el}t})\tag{D}$$

 

それぞれの記号の意味は前々回の記事と同じですが,一つだけ新しいパラメータが現れました.
それは薬物の注入速度(点滴速度)である$k_{0}$です.
もう何度か拙ブログを読んでくださった方々でしたら,一つくらい変数が増えてもそう拒絶反応は示さないのではないでしょうか.

今回はこの方程式を導いてみましょう.微分方程式を解いてみましょう.みなさま,用意はいいですか?ちゃんと自分の目で確かめつつ,かつ自分の手で数式を書き写して,方程式が出来上がる過程を楽しんでくださいね.

まずは何はともあれモデル図!そして微分方程式を組み立てる

持続静脈内投与のコンパートメントモデル

持続静脈内投与のコンパートメントモデル

 

ここでまず重要なのは,上図の左側です.ここは点滴によって薬物が体内に一定の速度で投与されることであって,つまりこの投与過程は時間に依存しないということです.したがって,ある時刻$t$におけるコンパートメント内(静脈内)の薬物量$X_{t}$の時間変化は以下のように記述できます.

 

$$\frac{dX_{t}}{dt} = k_{0} – k_{el}X_{t}\tag{1}$$

 

右辺第1項が薬物の投与過程(時間に依存しないから$t$がない),第2項が薬物のコンパートメントからの消失を表しています.

さて,この微分方程式をどうすれば解けるのでしょうか?どうやったら(D)式が導けるのでしょうか??

微分方程式を解くコツ:面倒なところは変数変換!

ここから本格的に(1)式を解いてゆきます.よろしいですか?
まずはおなじみの通り変数分離を行います.(1)式を以下のように変形しましょう.

 

$$\frac{1}{k_{0}-k_{el}X_{t}}dX_{t} = dt$$

 

そして両辺を時間$t$で積分します.

 

$$\int\frac{1}{k_{0}-k_{el}X_{t}}dX_{t} = \int dt \tag{2}$$

 

ここで,次のような変数変換を行います.

 

$$ a = k_{0} – k_{el}X_{t} \tag{3}$$

この両辺を微分すると

$$ da = -k_{el}dX_{t}$$

$$\therefore dX_{t} =  – \frac{1}{k_{el}}da \tag{4}$$

になりますね.

すると,この(3)式と(4)式を(2)式に代入して,さらに続いてそのまま不定積分を行えば,

 

$$\int \frac{1}{a}(-\frac{1}{k_{el}}da) = t + C'(積分定数)$$

$$\therefore -\frac{1}{k_{el}}\ln a = t + C’$$

$$\therefore -\frac{1}{k_{el}}\ln (k_{0} – k_{el}X_{t}) = t + C’$$

$$\therefore \ln (k_{0} – k_{el}X_{t}) = -k_{el}(t + C’)$$

$$\therefore k_{0} – k_{el}X_{t} = e^{-k_{el}(t + C’)} = e^{-k_{el}t}・e^{-k_{el}C’}$$

 

ここで,面倒なので定数である$e^{-k_{el}C’}$を単に$C$と置いてしまいましょう.すると,

 

$$k_{0} – k_{el}X_{t} = e^{-k_{el}t}・C \tag{5}$$

 

ここで,$t = 0$の投与初期では$X_{0} = 0$なので,

 

$$k_{0} – 0 = e^{-k_{el}・0}・C = 1・C$$

$$\therefore C = k_{0}$$

 

となり,積分定数$C$が投与速度$k_{0}$であることがわかります.したがって,この結果を(5)式に代入して,

 

$$k_{0} – k_{el}X_{t} = k_{0}e^{-k_{el}t} \tag{5}$$

$$\therefore  k_{el}X_{t} = k_{0}(1 – e^{-k_{el}t}) $$

$$\therefore  X_{t} = \frac{k_{0}}{k_{el}}(1 – e^{-k_{el}t}) $$

 

両辺を分布容積$Vd$で除せば,$ \frac{X_{t}}{Vd} = C_{t}$ですので,はい,

 

$$C_{t} = \frac{k_{0}}{Vd・k_{el}}(1 – e^{-k_{el}t}) \tag{D}$$

 

と,見事に(D)式が導出できました.やりましたねみなさん!!

まとめ

いかがでしたでしょうか?ともすれば公式の丸暗記で学部時代も国試通過もできたのやもしれませんが,より理解を深めてゆこうとすれば方程式の導出や証明は避けては通れないでしょう.

微分方程式を解く,と聞くと何やら小難しいように見えるのやもしれませんが,今回ここで用いた方法はおそらく高校数学の微積分の知識があればすぐに理解できると思います.

この記事が,今まさに学んでいる最中の薬学生さん,そして実際に現場で活躍されている薬剤師の先生方の,薬物動態学をより一歩踏み込んだ世界へと誘う一助となれば幸いでございます.